¿Existe una aplicación móvil que se enfoque en las relaciones personales con amigos cercanos y familiares?

No que yo sepa.

He creado un equipo telefónico para hombres que se reúne en una conferencia telefónica gratuita todos los lunes a las 12 pm, hora estándar del Pacífico.

Aunque es solo para hombres.

Hace más de 4 años que se lleva a cabo y hay hombres de Hawai, California, Colorado, Texas y Florida que participan semanalmente en la llamada.

Esto es lo más cercano que sé que es lo que puede estar buscando.

Se necesita interacción humana para obtener lo que buscas. No hay ninguna aplicación para eso. Si quieres aprender cómo mejorar las relaciones, debes aprender a relacionarte (con humanos y no con alguna aplicación).