¿Quién manda los sentidos? ¿Corazón, mente o alma?

¡Varía y depende del individuo en cuestión!
Hay personas que no tienen control sobre sus sentidos, mientras que hay personas que tienen un control total sobre ellos.

Según Bhagwad Geeta, los sentidos deben ser controlados por la mente, que debe ser controlada por el intelecto que a su vez debe ser guiado por el alma.

Bhagwad Geeta Capítulo 3-
Se dice que los sentidos son poderosos. Pero más allá de los sentidos está la mente, más allá de la mente está el intelecto, y más allá y más allá de lo que el intelecto es Él.

Hay una metáfora interesante dada en los sutras de Patanjali Yoga a este respecto.
que dice que todo el complejo cuerpo mental es como un carro y que varias partes se describen a continuación:

Caballos: son similares a los órganos sensoriales que, si se dejan sin control, corren sin rumbo.

Riendas: son una metáfora de la mente que controla los sentidos.

Charioteer- Este es nuestro intelecto (el poder de discriminar entre el bien y el mal) que guía la mente (rienda) para controlar los sentidos (caballos).

Maestro del carro: este es el Atman o alma que viaja en este cuerpo (carro) que le da la dirección al intelecto ( conductor del carro).

Desde la perspectiva de la ciencia hay dos cosas:
Uno se llama el cerebro. Controla la mayoría de las funciones / acciones del cuerpo. Cerebro y cerebelo controla esto.
La segunda es la médula oblongata. Se trata de reflejos como la eliminación de la mano en la sensación de calor / frío, la sensación de un insecto que se arrastra.
Si por sentidos te refieres a la visión, el tacto, el oído, el gusto, etc., estos se controlan con la combinación de los dos anteriores.

Al unísono de los tres